2019年中考压轴系列——江苏泰州第26题（反比例函数与定值）
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江苏泰州第26题(反比例函数与定值)
——2019年中考压轴解析系列
【2019·江苏】已知一次函数y1＝kx+n（n <0）和反比例函数y2＝m/x（m>0, x>0）,
（1）如图1，若n＝－2，且函数y1、y2的图像都经过点A（3，4）.
①求m、k的值;
②直接写出当y1>y2时x的范围；
（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图像相交于点B,与反比例函数y3＝n/x（x>0）的图像相交于点C.
①若k＝2, 直线l与函数y1的图像相交于点D,当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m－n的值；
②过点B作x轴的平行线与函数y1的图像相交与点E，当m－n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值，求此时k的值及定值d.
【图文解析】
（1）①将A（3，4）代入y2＝m/x，得m=12，将A（3，4）和n=-2代入直线y1＝kx+n，求得k=2．
②如下图：由图像可知当x>3时，y1>y2.
（2）①当k=2时，直线l为y=2x+n．依题意，得P（1，0），D（1，2+ n），B（1，m），C（1， n）．
又由“点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等”及“n＜0”，得：BD＝BC或BD＝DC．
当BD＝BC时，如下图示，有2+n-m＝m-n，得2(m-n)=2，得m-n=1．
当BD＝DC时，如下图示，有m - (2+ n)＝(2+ n) - n，得m-n=4．
当B、D重合BC＝CD.m-n=2.综上所述m﹣n＝1、2 或4.
【试题再现】如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图像相交于点B,与反比例函数y3＝n/x（x>0）的图像相交于点C.②过点B作x轴的平行线与函数y1的图像相交与点E，当m－n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值，求此时k的值及定值d.
【图文解析】
依题意，可知：B（1，m），C（1， n）．当y1＝m时，得kx+n＝m．得x＝(m-n)/k．即点E为（(m-n)/k，0）．如下图示．
此时，因k＞0(直线l过点A与y轴负半轴上的点)，则＞0时，所以d随m-n的增大而增大，不可能为定值，所以不符合题意．
如下图示．
又因为“m－n的值取不大于1的任意实数时， d始终是一个定值”．
所以当1-1/k=0，即k=1时，d=0+1＝1为定值.故所求的k的值为1，定值d=1．
【反思】画出符合条件的图（象），结合图象理解，同时注意分类讨论思想在解题中的应用.
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